作者：范琼 来源：中国科学报
MedSci简评：MedSci上为什么要发表数学的突破？数学是众多学科的基础学科，在生物医学领域也有广泛应用。如统计学的基础上数理。目前生物医学中还存在大量难题，需要更为复杂的数学模型才有可能重建疾病模型。也希望这些数学突破能给大家带来一些思路和启示。
中国科学技术大学数学科学学院“千人计划”入选者陈秀雄教授和英国数学家、菲尔茨奖得主唐纳森，以及陈秀雄教授前学生孙崧博士合作，成功解决了第一陈类为正时的“丘成桐猜想”。近日，三篇系列论文发表于《美国数学会杂志》。
为了解释万有引力的本质，爱因斯坦于1916年创立广义相对论，并试图用一个二阶非线性偏微分方程组来度量引力场，也就是有名的“卡勒—爱因斯坦度量”。后来的物理学家进一步发展出“弦”理论，在弦论里，我们的宇宙是十维的时空，即通常的四维时空，和一个很小的六维空间，而这些复杂的高维空间必须是“卡勒—爱因斯坦度量”。一直以来它们只存在于理论物理学家的推演和数学家的计算中。
在探索高维空间的过程中，1954年，意大利著名几何学家卡拉比在国际数学家大会上提出了一个猜想：复杂的高维空间是由多个简单的多维空间“粘”在一起，因为对于简单的多维空间，目前有成熟的数学工具能够将其进行解析，如果高维空间能够被拆解，也就意味着高维空间可通过一些简单的几何模型拼装得到。这就是著名的“卡拉比猜想”——关于复几何领域高维空间的单值化猜想，同时这也是求证高维空间上“卡勒—爱因斯坦度量”存在的猜想。
“卡拉比猜想”按照第一陈类分为负、零、正三种情况。其中，“陈类”又称“陈省身示性类”，指国际数学大师陈省身先生1945年发现复流上有反映复结构特征的不变量。直到20多年后，陈省身的弟子丘成桐才攻克了陈类为负和零的“卡拉比猜想”，他也因此在1982年获得数学领域的诺贝尔奖——菲尔茨奖。
据专家介绍，关于“卡比拉猜想”中第一陈类为正的高维空间只有在满足特定条件下，“卡勒—爱因斯坦度量”才有可能存在。这个问题因此难度倍增，困扰学界几十年。丘成桐提出猜想，认为可将第一陈类为正的高维空间上的“卡勒—爱因斯坦度量”的存在性问题转化为代数几何的稳定性问题。这被认为是“复几何领域自卡拉比猜想解决后最重要的问题”。
在陈—唐纳森—孙的系列论文中，他们给出了“卡勒—爱因斯坦度量”的存在性之丘成桐猜想的完整证明。根据唐纳森教授2008年提出的研究纲领，结合微分几何、代数几何、多复变函数、度量几何等多个数学分支的方法，经过多种方法创新，他们终于最终解决了第一陈类为正时的“丘成桐猜想”。
《美国数学会杂志》审稿人评价说：“陈—唐纳森—孙的证明是突破性的，它不仅解决了一个基本性的问题，同时还发展了许多新颖有力的工具，以揭示卡勒几何、代数几何和偏微分方程之间的深刻联系。”国际数学大师德马依称：“无庸赘述，这一进展已在全世界范围内引起了强烈的反响。”
还有专家表示，该重大国际研究成果的取得有赖于对近20年来各个领域众多数学家取得的基础性成果的关键运用，也标志着卡勒几何的研究达到一个全新的高度。这一突破也有望在代数几何以及“弦”论等理论物理上获得更多的重要应用。
据了解，陈秀雄毕业于中国科学技术大学数学系，是著名几何学家卡拉比教授的最后一位博士生，2008年被聘为中国科大“长江学者讲座教授”，2009年被聘为中国科大首批“大师讲席（II）”教授，并入选国家第二批“千人计划”。2008年夏，他受唐纳森教授之邀共同研究“卡勒—爱因斯坦度量”的存在性，一直合作研究该课题至今。
本文摘自MedSci